Question

（2012•威海一模）現(xiàn)有正整數(shù)1，2，3，4，5，…n，一質(zhì)點從第一個數(shù)1出發(fā)順次跳動，質(zhì)點的跳動步數(shù)通過拋擲骰子來決定：骰子的點數(shù)小于等于4時，質(zhì)點向前跳一步；骰子的點數(shù)大于4時，質(zhì)點向前跳兩步．
（I）若拋擲骰子二次，質(zhì)點到達(dá)的正整數(shù)記為ξ，求Eξ；
（II）求質(zhì)點恰好到達(dá)正整數(shù)5的概率．

Answer 1

分析：（I）由于ξ表示拋擲骰子二次，質(zhì)點到達(dá)的正整數(shù)，由題意則ξ的取值有3，4，5，并利用隨機(jī)變量得到定義求出每一個值下對應(yīng)的事件的概率，有分布列定義求出其分布列，并根據(jù)期望定義求出期望．
（II）由題意質(zhì)點恰好到達(dá)正整數(shù)5有三種情形，①拋擲骰子四次，出現(xiàn)點數(shù)全部小于等于4；②拋擲骰子三次，出現(xiàn)點數(shù)二次小于等于4，一次大于4；③拋擲骰子二次，出現(xiàn)點數(shù)全部大于4．利用獨立事件的概率公式各自的概率，最后相加即可；

解答：解：（I）由題意得，ξ的取值有3，4，5，
∵p（ξ=3）=

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P（ξ=4）=

C

1 2

2

3

×

1

3

=

4

9

，
P（ξ=4）=

1

3

×

1

3

=

1

9

．
所以 Eξ=3×

4

9

+4×

4

9

+5×

1

9

=

11

3

．
（II）質(zhì)點恰好到達(dá)正整數(shù)5有三種情形：
①拋擲骰子四次，出現(xiàn)點數(shù)全部小于等于4，概率為P₁=(

2

3

)4；
②拋擲骰子三次，出現(xiàn)點數(shù)二次小于等于4，一次大于4，概率為P₂=

C

2 3

(

2

3

)2

1

3

；
③拋擲骰子二次，出現(xiàn)點數(shù)全部大于4，概率為P₃=(

1

3

)2．
∴質(zhì)點恰好到達(dá)正整數(shù)5的概率P=P₁+P₂+P₃=

16

81

+

4

9

+

1

9

=

61

81

．

點評：此題重在準(zhǔn)確理解題意，主要考查了獨立事件同時發(fā)生的概率公式，隨機(jī)變量的定義及其分布列，并利用隨機(jī)變量的分布列求其期望．