Question

（江西卷理）（本小題滿(mǎn)分12分）

已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)（為正常數(shù)）上任一點(diǎn),為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn),過(guò)作右準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為,連接并延長(zhǎng)交軸于.            

(1)    求線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)    設(shè)軌跡與軸交于兩點(diǎn),在上任取一點(diǎn),直線(xiàn)分別交軸于兩點(diǎn).求證:以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn).

Answer 1

的軌跡的方程為.，

解析:

(1) 解  由已知得,則直線(xiàn)的方程為:,

   令得,即,

設(shè),則,即代入得:,

即的軌跡的方程為.            

(2) 證明  在中令得,則不妨設(shè),

于是直線(xiàn)的方程為:,

直線(xiàn)的方程為:,

則,

則以為直徑的圓的方程為: ,

令得:,而在上,則,

于是,即以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn).