Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sin$（ωx+φ）-cos（ωx+φ）為偶函數(shù)，且函數(shù)f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值．
（2）求函數(shù)y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)可得f（x）=-2cos（ωx+φ+$\frac{π}{3}$），由偶函數(shù)可得φ=-$\frac{π}{3}$，再由對(duì)稱性可得函數(shù)的周期為π，可得ω=2，可得解析式，代值計(jì)算可得；
（2）由（1）可得y=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），可得三角函數(shù)的最值．

解答 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=$\sqrt{3}sin$（ωx+φ）-cos（ωx+φ）
=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（ωx+φ）-$\frac{1}{2}$cos（ωx+φ）]
=-2cos（ωx+φ+$\frac{π}{3}$），
由偶函數(shù)可得φ+$\frac{π}{3}$=kπ，可取k=0，則φ=-$\frac{π}{3}$，
又函數(shù)f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)的周期為π，∴ω=2，
∴f（x）=-2cos2x，
∴f（$\frac{π}{8}$）=-2cos$\frac{π}{4}$=-$\sqrt{2}$；
（2）由（1）可得y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）
=-2cos2x-2cos（2x+$\frac{π}{2}$）
=2sin2x-2cos2x
=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）
當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$即x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z時(shí)，
函數(shù)y取最大值2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的最值和奇偶性，屬中檔題．