Question

14．某市三家旅游公司在國慶期間推出了“市區(qū)一日游”的豪華大巴游活動，由于私家車輛的增多，堵車已經(jīng)成為旅途中最常見的問題．據(jù)統(tǒng)計：甲公司選擇的旅游路線堵車的概率為$\frac{1}{4}$．乙、丙兩公司選擇的旅游路線堵車的概率為p（0＜p＜$\frac{2}{5}$），并且三家公司選擇的旅游路線是否堵車相互之間沒有影響，且三條路線只有一條路線堵車的概率為$\frac{4}{9}$．
（1）求p的值；
（2）求甲、乙、丙三家公司選擇的路線中堵車路線數(shù)目ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用相互獨立事件乘法概率計算公式列出方程，能求出p．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲、乙、丙三家公司選擇的路線中堵車路線數(shù)目ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由已知得$\frac{1}{4}$（1-p）²+$\frac{3}{4}（1-p）p=\frac{4}{9}$，
由0≤p≤1，
解得p=$\frac{1}{3}$．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=1）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×2+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{7}{36}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{36}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{7}{36}$	$\frac{1}{36}$

Eξ=$0×\frac{1}{3}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{7}{36}+3×\frac{1}{36}$=$\frac{11}{12}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．