Question

7．將邊長為4正三角形薄片，用平行于底邊的兩條直線剪成三塊（如圖所示），這兩條平行線間的距離為$\sqrt{3}$，其中間一塊是梯形記為ABCD，記$S=\frac{{{{（{梯形ABCD的周長}）}^2}}}{梯形ABCD的面積}$，則S的最小值為$\frac{32\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，設(shè)AB=x，用x表示出梯形的周長和面積，求出S關(guān)于x的函數(shù)，利用基本不等式得出S的最小值．

解答 解：作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，則AE=BF=$\sqrt{3}$，
∵∠ADE=∠BCF=60°，
∴DE=CF=1，AD=BC=2，
設(shè)AB=x（0≤x≤4），則梯形ABCD的周長為2x+6，
梯形ABCD的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+x+2）=$\sqrt{3}$（x+1）．
∴S=$\frac{（2x+6）^{2}}{\sqrt{3}（x+1）}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$•$\frac{{x}^{2}+6x+9}{x+1}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$•（x+1+$\frac{4}{x+1}$+4）≥$\frac{4}{\sqrt{3}}•（4+4）$=$\frac{32\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{4}{x+1}$即x=2時取等號．
故答案為：$\frac{{32\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)解析式的求解，基本不等式與函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．