Question

設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意整數(shù)k屬于M，當(dāng)n＞k時(shí)，S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k）都成立。
（1）設(shè)M=｛1｝，a₂=2，求a₅的值；
（2）設(shè)M=｛3，4｝，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式。

Answer 1

解：（1）∵k=1，
∴，
∴，
即：，
所以，n＞1時(shí)，{a_n}成等差，而a₂=2，，
∴，∴。
（2）由題意：，
，
，
，
當(dāng)n≥5時(shí)，由（1）（2）得：，
由（3）（4）得：，
由（1）（3）得：，
由（2）（4）得：，
由（7）（8）知：成等差，成等差；
設(shè)公差分別為：d₁，d₂，
由（5）（6）得：，
，
由（9）（10）得：，
∴{a_n}（n≥2）成等差，設(shè)公差為d，
在（1）（2）中分別取n=4，n=5得：
，即，
，即，
∴，∴。