Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）若對于任意的x∈（0，2），不等式f（x）＞ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程；
（2）由題意可得a+1＜$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）恒成立，求出g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-1，
即有f（x）在（0，f（0））處的切線斜率為e⁰-1=0，
切點為（0，1），則f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=1；
（2）對于任意的x∈（0，2），不等式f（x）＞ax恒成立，
即為a+1＜$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）恒成立，
由g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當1＜x＜2時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有x=1處取得最小值，且為e，
則a+1＜e，可得a＜e-1．
即有a的取值范圍是（-∞，e-1）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．