Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\;}\right._{lnx，x＞0}^{{x^2}+x+a，x＜0}$，若函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （一2，-1）
• B． （1，2）
• C． （一1，+∞）
• D． （-ln2，+∞）

Answer 1

分析 先根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)f（x）在點A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件列出關系式，從而得出a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）²-1，最后利用導數(shù)研究它的單調(diào)性和最值，即可得出a的取值范圍．

解答 解：當x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當x₁＜0時，函數(shù)f（x）在點A（x₁，f（x₁））處的切線方程為y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
當x₂＞0時，函數(shù)f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）；
兩直線重合的充要條件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₁+1①，lnx₂-1=-x₁²+a②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，由①②得a=lnx₂+（$\frac{1}{2{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）²-1=-ln$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）²-1，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，則0＜t＜1，且a=$\frac{1}{4}$（t-1）²-1-lnt，設h（t）=$\frac{1}{4}$（t-1）²-1-lnt，（0＜t＜1），
則h′（t）=$\frac{1}{2}$（t-1）-$\frac{1}{t}$=$\frac{（t-2）（t+1）}{2t}$＜0，∴h（t）在（0，1）為減函數(shù)，
則h（t）＞h（1）=-ln1-1，∴a＞-1，
∴若函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，a的取值范圍（-1，+∞）．
故選C．

點評 本題主要考查了導數(shù)的幾何意義等基礎知識，考查了推理論證能力、運算能力、創(chuàng)新意識，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．