Question

已知數(shù)列{a_n}中,a_n≠0(n∈N*)且當(dāng)n≥2時等式恒成立,求證:{a_n}成等差數(shù)列.

Answer 1

分析：加深理解數(shù)學(xué)歸納法是判定數(shù)列特殊性的基本方法.關(guān)鍵是把判定等差數(shù)列的方法轉(zhuǎn)化為公式,從而明確歸納法的應(yīng)用對象.

證明 (1)當(dāng)n=2時,由2a₂=a₁+a₃,

∴a₁,a₂,a₃成等差數(shù)列,結(jié)論成立.              

(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時,結(jié)論成立,

即由

可推出a₁,a₂,…,a_k+1成等差數(shù)列.

則n=k+1時,∵成立,    

∴

∴ka_k+2+a₁=(k+1)a_k+1.

又∵a_k+1=a₁+kd,

(d為等差數(shù)列a₁,a₂,…,a_k+1的公差)

∴ka_k+2+a₁=(k+1)(a₁+kd).

∴a_k+2=a₁+(k+1)d.

∴a₁,a₂,…,a_k+2成等差數(shù)列.            

∴n=k+1時,結(jié)論成立,

由(1)、(2)知,對于一切n≥2結(jié)論成立.