Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，則
不等式（x+2015）³f（x+2015）+27f（-3）＞0的解集（　�。�

• A． （-2018，-2015）
• B． （-∞，-2016）
• C． （-2016，-2015）
• D． （-∞，-2012）

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x³f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可判斷出該函數(shù)在（-∞，0）上為增函數(shù)，然后將所求不等式轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性得出自變量值的關(guān)系從而解出不等式即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x³f（x），g′（x）=x²（3f（x）+xf′（x））；
∵3f（x）+xf′（x）＞0，x²＞0；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
g（x+2015）=（x+2015）³f（x+2015），g（-3）=-27f（-3）；
∴由不等式（x+2015）³f（x+2015）+27f（-3）＞0得：
（x+2015）³f（x+2015）＞-27f（-3）；
∴g（x+2015）＞g（-3）；
∴x+2015＞-3，且x+2015＜0；
∴-2018＜x＜-2015；
∴原不等式的解集為（-2018，-2015）．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的解法：利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性定義將原不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式即可．