Question

若F₁、F₂分別為雙曲線=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),E在雙曲線的左支上，點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上,且滿足=λ()(λ＞0).

(Ⅰ)求此雙曲線的離心率；

(Ⅱ)若此雙曲線過點(diǎn)()，直線l過其右焦點(diǎn)且與右支交于P、Q兩點(diǎn)，若線段PQ的中點(diǎn)R在直線x=t(t≤1)上的射影C滿足PC⊥QC，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ),則,則四邊形EF₁OM為平行四邊形.又由(λ＞0),知點(diǎn)M在∠EF₁O的角分線上,故四邊形EF₁OM為菱形,則=c,于是=2a+c,

∴e=+1(e＞1),解得e=2. 

(Ⅱ)e=2,則b²=3a²,即=1(a＞0,b＞0),

將()代入可得a²=1,故有x²=1.

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x₁,y₁),Q點(diǎn)坐標(biāo)(x₂,y₂), 

則=e(x₁)=ex₁-a=2x₁-1,

=e(x₂)=2x₂-1,∴|PQ|=2(x₁+x₂)-2.

若直線l斜率存在,設(shè)其方程為y=k(x-2),則由題設(shè)可知

|k|＞,則由得(k²-3)x²-4k²x+(4k²+3)=0(|k|＞) 

又PC⊥QC,∴|RC|=|PQ|,則[2(x₁+x₂)-2].

∴t=,∴k²=,又k²＞3,∴＞3t＜-1.

又當(dāng)k不存在時(shí),即PQ與x軸垂直,方程為x=2,∴R(2,0),

C(t,0),P(2,3),Q(2,-3),滿足PC⊥QC,則易求得t=-1.綜上可得：t≤-1.