Question

設(shè)a₀為常數(shù),且a_n=3^n-1-2a_n-1(n∈N^*),

證明對(duì)任意的n≥1,a_n=［3ⁿ+(-1)^n-1·2ⁿ］+(-1)ⁿ2ⁿa₀.

Answer 1

證明:①當(dāng)n=1時(shí),a₁=1-2a₀成立.?

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),等式成立,即a_k=［3^k+(-1)^k-1·2^k］+(-1)^k·2^ka₀,?

那么a_k+1=3^k-2a_k=3^k-［3^k+(-1)^k-1·2^k］-(-1)^k·2^k+1a₀=［3^k+1+(-1)^k·2^k+1］+(-1)^k+1·2^k+1a₀,

也就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.?

根據(jù)①和②可知,等式對(duì)任何正數(shù)n成立.