Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}的前幾項(xiàng)和為S_n，滿足（2t+3）（S_n+1-1）=（3t+4）S_n，a₁=1，其中t＞0
（1）若t為常數(shù)，證明：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）若t為變量，記數(shù)列{a_n}的公比為f（t），數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=f（b_n），求b₂，b₃，試判定b_n與$\sqrt{2}$的大小，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的定義，證明$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{3t+4}{2t+3}$，即可證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）猜想：b_n＞$\sqrt{2}$，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，${a_2}=\frac{3t+4}{2t+3}$
當(dāng)n≥2時(shí)，（2t+3）（s_n-1）=（3t+4）s_n-1①（2t+3）（s_n+1-1）=（3t+4）s_n②
②-①得：（2t+3）a_n+1=（3t+4）a_n
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{3t+4}{2t+3}$（n≥2）---------4分
又   $\frac{a_2}{a_1}=\frac{3t+4}{2t+3}$
故{a_n}是等比數(shù)列---------------6分
（2）${b_{n+1}}=\frac{{3{b_n}+4}}{{2{b_n}+3}}$${b_2}=\frac{10}{7}，{b_3}=\frac{58}{41}$
猜想：b_n＞$\sqrt{2}$------------8分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1，b₁=2，則b₁＞$\sqrt{2}$成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，b_k＞$\sqrt{2}$
當(dāng)n=k+1時(shí)，${b_{k+1}}=\frac{{3{b_k}+4}}{{2{b_k}+3}}$${b_{k+1}}-\sqrt{2}=\frac{{3{b_k}+4}}{{2{b_k}+3}}-\sqrt{2}$=$\frac{{（{3-2\sqrt{2}}）{b_k}+（{4-3\sqrt{2}}）}}{{2{b_k}+3}}$=$\frac{{（{3-2\sqrt{2}}）（{{b_k}-\sqrt{2}}）}}{{2{b_k}+3}}$＞0${b_{k+1}}≥\sqrt{2}$，即 n=k+1，結(jié)論也成立
由①②知：b_n＞$\sqrt{2}$----------12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．