Question

已知直線(xiàn)l的方程為Ax＋By＋C=0，M₁(x₁，y₁)、M₂(x₂，y₂)為直線(xiàn)l異側(cè)的任意兩點(diǎn)，M₁、M₃(x₃，y₃)為直線(xiàn)l同側(cè)的任意兩點(diǎn)，求證：

(1)Ax₁＋By₁＋C與Ax₂＋By₂＋C異號(hào)；

(2)Ax₁＋By₁＋C與Ax₃＋By₃＋C同號(hào).

Answer 1

證明:(1)∵M₁、M₂在l異側(cè)，∴l必交線(xiàn)段M₁、M₂于點(diǎn)M₀.

設(shè)M₀分M₁M₂所成的比為λ，則分點(diǎn)M₀的坐標(biāo)為x₀=，y₀=,代入l的方程得

A()＋B()＋C=0.

從而得Ax₁＋By₁＋C＋λ(Ax₂＋By₂＋C)=0.

解出λ，得λ=－.

∵M₀為M₁M₂的內(nèi)分點(diǎn)，∴λ＞0.

∴Ax₁＋By₁＋C與Ax₂＋By₂＋C異號(hào).

(2)∵M₃、M₁在l同側(cè)，而M₁、M₂在l異側(cè)，

∴M₃、M₂在l異側(cè).利用(1)得Ax₃＋By₃＋C與Ax₂＋By₂＋C異號(hào),

又∵Ax₁＋By₁＋C與Ax₂＋By₂＋C異號(hào)，

∴Ax₁＋By₁＋C與Ax₃＋By₃＋C同號(hào).

點(diǎn)評(píng):此例從理論上證明了二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線(xiàn)Ax＋By＋C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.