Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,且對(duì)任意正整數(shù)n,都有a_n是n與S_n的等差中項(xiàng).

(1)求證:a_n=2a_n-1+1(n≥2);

(2)求證:+++…+＜2.

Answer 1

證明:(1)∵a_n是n與S_n的等差中項(xiàng),∴2a_n=n+S_n,于是2a_n-1=n-1+S_n-1(n≥2).

兩式相減得2a_n-2a_n-1=1+S_n-S_n-1,即2a_n-2a_n-1=1+a_n,即a_n=2a_n-1+1(n≥2).

(2)當(dāng)n=1時(shí),2a₁=1+S₁,即2a₁=1+a₁,∴a₁=1.∴=1＜2.

當(dāng)n≥2時(shí),∵a_n=2a_n-1+1＞2a_n-1=2(2a_n-2+1)＞2²a_n-2＞…＞2^n-1a₁=2^n-1,

∴當(dāng)n≥2時(shí)，+++…+=+++…+＜1+++…+=2(1-)＜2.∴+++…+＜2.