Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上的值域；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間[1，e]上都存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由g′（x）=e^1-x-xe^1-x=e^1-x（1-x），知g（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，e）上單調(diào)遞減，由此能求出g（x）的值域．
（2）設m=g（x），則由（1）可得m∈（0，1]，原問題等價于：對任意的t∈（0，1]，f（x）=m在[1，e]上總有兩個不同的實根，故f（x）在[1，e]不可能是單調(diào)函數(shù)，由此能推導出滿足條件的a不存在．

解答： 解：（1）∵g′（x）=e^1-x-xe^1-x=e^1-x（1-x），
∴g（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，e）上單調(diào)遞減，
且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e^2-e，
∴g（x）的值域為（0，1]．
（2）設m=g（x），則由（1）可得m∈（0，1]，
原問題等價于：對任意的m∈（0，1]，f（x）=m在[1，e]上總有兩個不同的實根，
故f（x）在[1，e]不可能是單調(diào)函數(shù)，
∵f′（x）=a-

1

x

，（1≤x≤e），其中

1

x

∈[

1

e

，1]，
①當a≥1時，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，不合題意．
②當a≤

1

e

時，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，不合題意．
③當1＜

1

a

＜e，即

1

e

＜a＜1時，f（x）在區(qū)間[1，

1

a

]上單調(diào)遞減；f（x）在區(qū)間[

1

a

，e]上單遞增，
由上可得a∈（

1

e

，1），此時必有f（x）的最小值小于等于0，且f（x）的最大值大于等于1，
而由f（x）_min=f（

1

a

）=2+lna≤0，可得a≤

1

e2

＜

1

e

，則a∈∅．
綜上，滿足條件的a不存在．

點評：本題考查函數(shù)的值域的求法，探索是否存在滿足條件的實數(shù)，探索函數(shù)圖象上滿足條件的兩點是否存在．綜合性強，難度大，對數(shù)學思維能力要求較高，有一定的探索性．