Question

己知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-

1

2

．
（1）求實數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=

x2+2kx+k

x

，對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f（x₁）≤g（x₂）成 立，求正實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f′（x），得出f′（2）=

1

2

-a=-

1

2

，解出a的值即可，從而f′（x）=

1-x

x

，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出f （x₁）的最大值為0，只須f （x）_max≤g（x）_max．只須-2

k

+2k≥0，解出即可．

解答： 解：（1）由已知：f′（x）=

1

x

-a，
∴由題知f′（2）=

1

2

-a=-

1

2

，解得a=1，
于是f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f （x）為增函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
即f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）由（Ⅰ）?x₁∈（0，+∞），f （x₁）≤f （1）=0，即f （x₁）的最大值為0，
由題知：對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f （x₁）≤g（x₂）成立，
只須f （x）_max≤g（x）_max．
∵g（x）=

x2+2kx+k

x

=x+

k

x

+2k=-（-x+

k

-x

）+2k≤-2

k

+2k，
∴只須-2

k

+2k≥0，解得k≥1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，求參數(shù)的范圍問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．