Question

若點(diǎn)（1，1）在不等式組

m-nx+y≥0 2mx-ny-4≤0 nx≥3y-3m

所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m²+n²的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：將點(diǎn)（1，1）的坐標(biāo)代入不等式組

m-nx+y≥0 2mx-ny-4≤0 nx≥3y-3m

，就可以得到一個(gè)關(guān)于m、n的不等式組，再在平面直角坐標(biāo)系中作出符合這個(gè)不等式組的區(qū)域圖形，將m²+n²的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的取值范圍問(wèn)題，最終可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，點(diǎn)（1，1）適合不等式組

m-nx+y≥0 2mx-ny-4≤0 nx≥3y-3m

，
將坐標(biāo)代入，得關(guān)于m、n的不等式組：

m-n+1≥0 2m-n-4≤0 n≥3-3m

在mon坐標(biāo)系中，作出符合上不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖

m²+n² 表示點(diǎn)P（m，n）到原點(diǎn)的距離的平方，根據(jù)圖形得
當(dāng)P點(diǎn)與點(diǎn)B（5，6）重合時(shí)，這個(gè)平方和最大，即（m²+n² ）max=5²+6²=61
而P到直線(xiàn)AC的距離平方的最小值，即（m²+n²）min=（

|0+0-3|

12+32

）²=

9

10

因此，m²+n²的取值范圍是[

9

10

，61]

點(diǎn)評(píng)：平面區(qū)域的最值問(wèn)題是線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中一類(lèi)重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫(huà)出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．