Question

實(shí)數(shù)列滿足：，，．

證明不等式

Answer 1

證明：  首先，用數(shù)學(xué)歸納法證明：．

時(shí)，命題顯然成立．

假設(shè)命題對(duì)成立，即有．

設(shè)，則是減函數(shù)，于是

,

     ，

即命題對(duì)n＋1也成立．

原命題等價(jià)于．

設(shè)，則是凸函數(shù)，即對(duì)，

有．

事實(shí)上，等價(jià)于

， ．

所以，由Jenson 不等式可得，

即          ．

另一方面，由題設(shè)及Cauchy不等式，可得

，

所以     ，

故 

，

從而原命題得證．