Question

已知函數(shù)（m，n為常數(shù)，…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線方程是．

（1）求m，n的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)（其中為的導(dǎo)函數(shù)），證明：對(duì)任意，．

 

Answer 1

（1）m＝n＝2；（2）增區(qū)間是（0，1），減區(qū)間是（1，＋∞）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1,f（1））處的切線方程是y＝，表明f（1）＝，且f '（1）＝0，得到方程組，求出m，n的值；（2）結(jié)合（1），進(jìn)一步討論f '（x）的符號(hào)，確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）將轉(zhuǎn)換為，證明1－x－xlnx≤且即可.

試題解析：（1）由得（）．

由已知得，解得m＝n．

又，即n＝2，

∴ m＝n＝2．

（2）由 （1）得，

令，，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，p（x）；當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，p（x）＜0，

又，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f '（x）＞0； 當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，f '（x）＜0，

∴ f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，＋∞）．……8分

（3）證明：由已知有，，

于是對(duì)任意x＞0， 等價(jià)于，

由（2）知，，

∴ ，．

易得當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減．

所以p（x）的最大值為，故≤．

設(shè)，則，

因此，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，．

故當(dāng)時(shí)，，即．

∴ ≤＜．

∴ 對(duì)任意x＞0，．

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，不等式