Question

已知函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的導函數(shù)為f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，設x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，則|x₁-x₂|的取值范圍為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由題意得：f（x）=3ax²+2bx+c，x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，由韋達定理得，x₁+x₂=，x₁x₂=，于是求
=，又a+b+c=0，從而有=•+（）+①，又f（0）•f（1）＞0，可求得-2＜＜-1，代入①即可求得的范圍，從而得到選項．
解答：解：由題意得：f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，故x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴=-4x₁•x₂=，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
∴===•+（）+①，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a²+3ab+b²＜0，
∵a≠0，兩邊同除以a²得：
+3+2＜0；
∴-2＜＜-1，代入①得∈[，）
∴|x₁-x₂|∈[，）．
故選A．
點評：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，著重考查韋達定理的使用，難點在于對條件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考察數(shù)學思維的深刻性與靈活性，屬于難題．