Question

6．如圖，已知圓O：x²+y²=4與軸正半軸交于點(diǎn)P，A（-1，0），B（1，0），直線l與圓O切于點(diǎn)S（l不垂直于x軸），拋物線過(guò)兩點(diǎn)A，B且以l為準(zhǔn)線．
 （1）當(dāng)點(diǎn)S在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：拋物線的焦點(diǎn)Q始終在某一橢圓C上，并求出該橢圓C的方程；
（2）設(shè)M．N是（1）中橢圓C上除短軸端點(diǎn)外的不同兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{PN}$（t∈R），問(wèn)：△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Q（x，y），作AA′，BB′垂直于直線l，A′，B′為垂足，連結(jié)AQ，BQ，OS，則OS⊥l，由橢圓的定義知焦點(diǎn)Q在以AB為焦點(diǎn)的橢圓上，由此能求出拋物線的焦點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）由已知P，M，N三點(diǎn)共線，設(shè)直線PN的方程為y=kx+2，代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、均值定理，能求出△MON的面積的最大值．

解答 解：（1）設(shè)Q（x，y），如圖，
作AA′，BB′垂直于直線l，A′，B′為垂足，
連結(jié)AQ，BQ，OS，則OS⊥l，
∵OS是直角梯形AA′B′B的中位線，
∴|AA′|+|BB′|=2|OS|，
由拋物線的定義知|AA′|=|AQ|，|BB′|=|BQ|，
∵|QA|+|QB|=|AA′|+|BB′|=2|OS|=4＞2=|AB|，
由橢圓的定義知焦點(diǎn)Q在以AB為焦點(diǎn)的橢圓上，
且2a=4，2c=2，∴b²=3，
∴拋物線的焦點(diǎn)Q的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（去掉與x軸的交點(diǎn)）．
（2）∵$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{PN}$（t∈R），
∴P，M，N三點(diǎn)共線，
由題意，直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y=kx+2，
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
由△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，得|k|＞$\frac{1}{2}$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-1}}{3+4{k}^{2}}$，
原點(diǎn)O到直線PN的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|•d=4$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-1}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4{k}^{2}-1}+\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-1}}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{\sqrt{4{k}^{2}-1}•\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-1}}}}$=$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=$\frac{4}{\sqrt{4{k}^{2}-1}}$，即k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$時(shí)，取等號(hào)．
∴△MON的面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想．