Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1-a}{2}$x²-ax-a（a＞0，x∈R）
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t）；求函數(shù)g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出區(qū)間上的最大值和最小值，進而求出g（t）的表達式即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），又a＞0，
∴當x＜-1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當-1＜x＜a時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x＞a時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-1），（a，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為：（-1，a）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：0＜a＜3時：
f（x）在[0，a）遞減，在（a，3]遞增，
∴m（t）=f（x）_min=f（a）=-$\frac{1}{6}$a³-$\frac{1}{2}$a²-a，
而f（0）=-a，f（3）=$\frac{27}{2}$-$\frac{17}{2}$a，
若f（0）＞f（3），即-a＞$\frac{27}{2}$-$\frac{17}{2}$a，解得：a＞$\frac{27}{15}$，
∴$\frac{27}{15}$＜a＜3時：M（t）=f（0）=-a，
∴g（t）=M（t）-m（t）=-a+$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²+a=$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²，
0＜a≤$\frac{27}{15}$時：f（3）≥f（0），
M（t）=f（3）=$\frac{27}{2}$-$\frac{17}{2}$a，
∴g（t）=M（t）-m（t）=$\frac{27}{2}$-$\frac{17}{2}$a+$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²+a=$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²-$\frac{15}{2}$a+$\frac{27}{2}$，
a≥3時：f（x）在[0，3]遞減，
∴M（t）=f（x）_max=f（0）=-a，m（t）=f（x）_min=f（3）=$\frac{27}{2}$-$\frac{17}{2}$a，
∴g（t）=M（t）-m（t）=-a-$\frac{27}{2}$+$\frac{17}{2}$a=$\frac{15a}{2}$-$\frac{17}{2}$，
綜上g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{6}a}^{3}+{\frac{1}{2}a}^{2}-\frac{15}{2}a+\frac{27}{2}，0＜a≤\frac{27}{15}}\\{{\frac{1}{6}a}^{3}+{\frac{1}{2}a}^{2}，\frac{27}{15}＜a＜3}\\{\frac{15a}{2}-\frac{17}{2}，a≥3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．