Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．

(1)試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

(2)當(dāng)D₁E⊥平面AB₁F時，求二面角C₁－EF－A的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(I)連結(jié)A1B，則A1B是D1E在面ABB1A；內(nèi)的射影． 　　∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1， 　　于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF． 　　連結(jié)DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影． 　　∴D1E⊥AFDE⊥AF．………4分 　　∵ABCD是正方形，E是BC的中點． 　　∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點時，DE⊥AF，即當(dāng)點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F． 　　(II)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時，由(I)知點F是CD的中點． 　　又已知點E是BC的中點，連結(jié)EF，則EF∥BD．連結(jié)AC， 　　設(shè)AC與EF交于點H，則CH⊥EF，連結(jié)C1H，則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影． 　　C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1－EF－C的平面角． 　　在Rt△C1CH中，∵C1C＝1，CH＝AC＝， 　　∴tan∠C1HC＝． 　　又因為∠AHC1＝∠C1HC，故二面角C1－EF－A的平面角的正切值為 　　解法二：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 　　(1)設(shè)DF＝x，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)， 　　A1(0，0，1)，B(1，0，1)，D1(0，1，1)，E，F(x，1，0) 　　∴ 　　∴ 　　于是， 　　即，故當(dāng)F是CD中點時， 　　(2)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時，F是CD的中點，又E是BC的中點，連結(jié)EF，則EF∥BD．連結(jié)AC，設(shè)AC與EF交于點H，則AH⊥EF．連結(jié)C1H，則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影． 　　∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1－EF－A的平面角． 　　 　　，即二面角C1－EF－A的平面角的正切值為