Question

18．已知函數(shù)f_n（x）=$\frac{{x}^{n+1}-1}{x-1}$，g_m（x）=m^x-mx（其中m≥e，n，me為正整數(shù)，e為自然對數(shù)的底）
（1）證明：當x＞1時，g_m（x）＞0恒成立；
（2）當n＞m≥3時，試比較f_n（m）與f_m（n） 的大小，并證明．

Answer 1

分析 （1）首先求解導函數(shù)，然后利用導函數(shù)研究原函數(shù)的單調性即可證得題中的不等式；
（2）構造函數(shù)，結合第一問的結論對不等式進行放縮即可證得題中的結論．

解答 解：（1）由題意可得：${g}_{m}^{'}（x）={m}^{x}lnm-m＞{m}^{x}-m$，
結合x＞1可得：${g}_{m}^{'}（x）＞0$，則函數(shù)g_m（x） 在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，
g_m（x）＞g_m（1）=m-m=0．
（2）∵n＞m≥3，令n=m^α，則α＞1，
由（1）可知m^α-mα＞0，∴m^α＞mα，
令h（x）=m^x-（m-i）x-i，i=0，1，2，3，4，…，m-1，x＞1，
則h'（x）=m^xlnm-（m-i）＞m^x-m+i＞m-m+i=i≥0，
∴h（x）＞h（1）=m-m+i-i=0，
∴h（α）＞0，即m^α-i＞（m-i）α，i=0，1，2，3，4，…，m-1，
$\left.\begin{array}{l}{∴{f}_{m}（n）=\frac{{n}^{n+1}-1}{n-1}=1+n+{n}^{2}+{n}^{3}+…+{n}^{m}}\\{=1+{m}^{α}+{（{m}^{α}）}^{2}+{（{m}^{α}）}^{3}+…+{（{m}^{α}）}^{m}}\\{=1+{m}^{α}+{m}^{2α}+{m}^{3α}…+{m}^{mα}}\\{＜1+{m}^{1}+{m}^{2}+…+{m}^{n-（m-1）}+{m}^{n-（m-2）}+…+{m}^{n-1}+{m}^{n}}\\{=\frac{{m}^{n+1}-1}{m-1}={f}_{n}（m），}\end{array}\right.$
即有f_n（m）＞f_m（n）．

點評 本題考查了導數(shù)研究函數(shù)的單調性，構造法，放縮法結合導函數(shù)證明不等式的方法，導數(shù)研究函數(shù)的最值等知識點，屬于�？嫉牡湫皖}目．