Question

（2012•安徽模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：Sn=

a

a-1

(an-1)（其中a為常數(shù)且a≠0，a≠1，n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

a

a-1

(an-1)，知Sn+1=

a

a-1

(an+1-1)，利用迭代法能求出an=an．
（2）由bn=n•an，知Tn=a+2a2+3a3+…+nan，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵Sn=

a

a-1

(an-1)，
∴Sn+1=

a

a-1

(an+1-1)，
從而a_n+1=S_n+1-S_n=

a

a-1

（a_n+1-a_n），
∴a_n+1=a•a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，由Sn=

a

a-1

(an-1)，得a₁=a．
∴數(shù)列{a_n}是以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列，故an=an．
（2）由（1）得bn=n•an，
∴Tn=a+2a2+3a3+…+nan，
從而aT_n=a²+2a³+3a⁴+…+naⁿ⁺¹，
兩式相減，得(1-a)Tn=a+a2+a3+…+an-naⁿ⁺¹，
∵a≠0，且a≠1，
∴(1-a)Tn=

a(1-an)

1-a

-nan+1
=

nan+2-(n+1)an+1+a

1-a

，
從而T_n=

nan+2-(n+1)an+1+a

(1-a)2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意迭代法和錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用．