Question

（2006•薊縣一模）已知函數(shù)f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f′（x），分別解出f′（x）=0和f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出其單調(diào)區(qū)間、極值；
（II）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，因此F（x）≥0在[0，+∞）恒成立?F（x）_min≥0，x∈[0，+∞）．
利用導(dǎo)數(shù)得出F′（x），通過(guò)對(duì)a分類討論，利用其單調(diào)性即可．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+4x+1，令f′（x）=0，
解得x1=-1或x2=-

1

3

．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	(-1，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值為-4；
當(dāng)x=-

1

3

時(shí)，f（x）取得極小值為-

112

27

．
（II）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立?F（x）_min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，顯然F（x）_min=4＞0，
若2-a＜0，F(xiàn)′（x）=3x²+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x=

2a-4

3

，
當(dāng)0＜x＜

2a-4

3

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；當(dāng)x＞

2a-4

3

時(shí)，F′(x)＞0．
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(x)min=F(

2a-4

3

)≥0，即(

2a-4

3

)3-(a-2)(

2a-4

3

)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)（x）=4滿足題意．
綜上所述a的取值范圍為（-∞，5]．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、分類討論得出思想方法等是解題的關(guān)鍵．