Question

2．n≥2，n∈N，求證：$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+$\frac{ln4}{{4}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜2（1-$\frac{1}{\sqrt{n}}$）．

Answer 1

分析 先證$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n\sqrt{n}}$，?$\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$＜$\frac{1}{2}$，設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{x}$（x≥1），求出導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性可得最大值，可證；再證$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），n≥2．運(yùn)用裂項(xiàng)和放縮法可得，再由累加法即可得證．

解答 證明：先證$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n\sqrt{n}}$?$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{\sqrt{n}}$?lnn＜$\sqrt{n}$
?2ln$\sqrt{n}$＜$\sqrt{n}$?$\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$＜$\frac{1}{2}$，
設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{x}$（x≥1），f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=e處取得最大值，且為$\frac{1}{e}$，
則$\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$≤$\frac{1}{e}$＜$\frac{1}{2}$，
再證$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），n≥2．
由$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜$\frac{1}{n\sqrt{n-1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}•\sqrt{n}•\sqrt{n-1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$•$\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}$（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$）
=$\frac{1}{\sqrt{n}}$•（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$）＜$\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$）=2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），
則$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），n≥2．
即有$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），n≥2．
即有$\frac{ln2}{{2}^{2}}$＜2（1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$），$\frac{ln3}{{3}^{2}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$），
…，$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），n≥2．
累加可得$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+$\frac{ln4}{{4}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜2（1-$\frac{1}{\sqrt{n}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的傳遞性和累加法，以及裂項(xiàng)和放縮法證明，屬于難題．