Question

9．已知雙曲線M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{3}c$（c為雙曲線的半焦距長），則雙曲線的離心率e為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{7}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$
• D． $3\sqrt{7}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線方程可得它的漸近線方程為bx±ay=0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c，0）．利用點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合已知條件列式，可得b，c關(guān)系，利用雙曲線離心率的公式，可以計(jì)算出該雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線雙曲線M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線方程為bx±ay=0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c，0），其中c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$
∴一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為d=$\frac{|±bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}c$，即7b²=2a²，
由此可得雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題給出雙曲線一個焦點(diǎn)到漸近線的距離與焦距的關(guān)系，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．