Question

2．已知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公差與公比均為2，并且a₂+a₄=a₁+a₅，a₇+a₉=a₈．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求使得a_m•a_m+1•a_m+2=a_m+a_m+1+a_m+2成立的所有正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，求解該數(shù)列的前兩項(xiàng)，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)所給的等式確定m的值．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公差與公比均為2，
∴a₃=a₁+2，a₅=a₁+4，a₇=a₁+6，
a₄=2a₂，a₆=4a₂，
∵a₂+a₄=a₁+a₅，a₄+a₇=a₆+a₃
∴a₂+2a₂=a₁+4+a₁，2a₂+6+a₁=4a₂+2+a₁
∴a₁=1，a₂=2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}，n為偶數(shù)}}\end{array}\right.$；
（2）∵a_m•a_m+1•a_m+2=a_m+a_m+1+a_m+2成立，
∴由上面可以知數(shù)列{a_n}為：1，2，3，4，5，8，7，16，9，…
當(dāng)m=1時(shí)等式成立，即 1+2+3=-6=1×2×3；等式成立．
當(dāng)m=2時(shí)等式成立，即2×3×4≠2+3+4；等式不成立．
當(dāng)m=3、4時(shí)等式不成立；
當(dāng)m≥5時(shí)，
∵a_m•a_m+1•a_m+2為偶數(shù)，a_m+a_m+1+a_m+2為奇數(shù)，
∴可得m取其它值時(shí)，不成立，
∴m=1時(shí)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的概念和基本性質(zhì)、等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確應(yīng)用等差和等比數(shù)列的基本性質(zhì)求解問(wèn)題．