Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=1，{a_{n+1}}=f（\frac{1}{a_n}），（n∈{N^*}）$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}（n≥2），{b_1}$=3，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，證明：對一切n∈N^*，都有S_n＜$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得${a}_{n+1}=\frac{\frac{2}{{a}_{n}}+3}{\frac{3}{{a}_{n}}}$=$\frac{2+3{a}_{n}}{3}$=${a}_{n}+\frac{2}{3}$，從而數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）n≥2時，b_n=$\frac{1}{（\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}）}$=$\frac{9}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，$_{1}=3=\frac{9}{2}（1-\frac{1}{3}）$，由此利用裂項求和法能證明對一切n∈N^*，都有S_n＜$\frac{9}{2}$．

解答 （1）解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=1，{a_{n+1}}=f（\frac{1}{a_n}），（n∈{N^*}）$，
∴${a}_{n+1}=\frac{\frac{2}{{a}_{n}}+3}{\frac{3}{{a}_{n}}}$=$\frac{2+3{a}_{n}}{3}$=${a}_{n}+\frac{2}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，
∴${a}_{n}=1+（n-1）×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$．
（2）證明：∵b_n=$\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}（n≥2），{b_1}$=3，
∴n≥2時，b_n=$\frac{1}{（\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}）}$=$\frac{9}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
又$_{1}=3=\frac{9}{2}（1-\frac{1}{3}）$，
∴${S}_{n}=\frac{9}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{9}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{9}{2}-\frac{9}{4n+2}$＜$\frac{9}{2}$，
∴對一切n∈N^*，都有S_n＜$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的證明，考查數(shù)列的前n項和小于$\frac{9}{2}$的證明，是中檔題，解題時要認真等差數(shù)列和裂項求和法的合理運用．