Question

（2013•煙臺二模）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n＞0，a_n+1是函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

(1-

1

2

an)x2-

1

2

anx的極小值點．
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求出通項公式a_n；
（2）設b_n=na_n²，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求證：Sn＜

16

9

．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，確定函數(shù)的極值點，即可得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，從而求出通項公式a_n；
（2）利用錯位相減法，求出數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，即可證明結(jié)論．

解答：證明：（1）求導函數(shù)可得f′(x)=x2+(1-

1

2

an)x-

1

2

an=(x+1)(x-

1

2

an)
∵a_n＞0，∴f（x）在（-∞，-1）、（

1

2

an，+∞）上遞增，在（-1，

1

2

an）上遞減
∴f（x）的極小值點為

1

2

an，∴an+1=

1

2

an
∵a₁=1，∴數(shù)列{a_n}為首項為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴通項公式a_n=(

1

2

)n-1；
（2）b_n=na_n²=n•(

1

4

)n-1
∴S_n=1•(

1

4

)0+2•(

1

4

)1+…+n•(

1

4

)n-1①
∴

1

4

S_n=1•(

1

4

)1+2•(

1

4

)2+…+n•(

1

4

)n②
①-②：

3

4

S_n=1•(

1

4

)0+1•(

1

4

)1+…+1•(

1

4

)n-1-n•(

1

4

)n=

4

3

-

4

3

•(

1

4

)n-n•(

1

4

)n
∴S_n=

16

9

-

16

9

•(

1

4

)n-

4

3

n•(

1

4

)n＜

16

9

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查數(shù)列的通項與求和，確定數(shù)列的通項，正確運用求和公式是關鍵．