Question

【題目】已知三棱錐A﹣BCD的所有棱長(zhǎng)均相等，E為DC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，則直線(xiàn)PE與平面BCD所成角的正弦值為_____，若點(diǎn)Q在棱AC所在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則直線(xiàn)QE與平面BCD所成角正弦值的最大值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

，則直線(xiàn)PE與平面BCD所成角等于直線(xiàn)與平面BCD所成角，過(guò)A作AO⊥底面BCD，垂足為O，連結(jié)OD，則∠ADO是直線(xiàn)PE與平面BCD所成角，在中求解即得，是一個(gè)正四面體，當(dāng)Q與A重合時(shí)，直線(xiàn)QE與平面BCD所成角正弦值取最大值，在中計(jì)算可得最大值．

連結(jié)BE，AE，過(guò)A作AO⊥底面BCD，垂足為O，連結(jié)OD，

則∠ADO是直線(xiàn)PE與平面BCD所成角，

設(shè)三棱錐A﹣BCD的所有棱長(zhǎng)均相等，設(shè)棱長(zhǎng)為2，

則DO＝BOBE，

AO，

∴sin∠ADO．

∴直線(xiàn)PE與平面BCD所成角的正弦值為．

當(dāng)Q與A重合時(shí)，直線(xiàn)QE與平面BCD所成角正弦值取最大值，

此時(shí)直線(xiàn)QE與平面BCD所成角為∠AEO，AE，

∴直線(xiàn)QE與平面BCD所成角正弦值的最大值為：

sin∠AEO．

故答案為：，