Question

（2011•武昌區(qū)模擬）如圖，四棱錐P-ABCD的底面的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=

2

AB，點(diǎn)M在側(cè)棱PC上，且CM=2MP．
（Ⅰ）求直線(xiàn)AM與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過(guò)M作MN⊥AC于N，則MN∥PA，根據(jù)側(cè)棱PA⊥底面ABCD，可得MN⊥底面ABCD，從而∠MAN為直線(xiàn)AM與平面ABCD所成的角，在Rt△AMN中，可求直線(xiàn)AM與平面ABCD所成的角正切值；
（Ⅱ）過(guò)A作AE⊥PD于E，過(guò)A作AF⊥PC于F，連接EF，則∠AFE為二面角A-PC-D的平面角，在Rt△AEF中，可求二面角的余弦值．

解答：解：設(shè)PA=

2

AB=

2

．
（Ⅰ）過(guò)M作MN⊥AC于N，則MN∥PA．
∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD
∴MN⊥底面ABCD．
則∠MAN為直線(xiàn)AM與平面ABCD所成的角．…（2分）
∵CM=2MP，CN=2NA．
∴AC=

2

∴AN=

2

3

．
又

MN

PA

=

2

3

，
∴MN=

2 2

3

．
在Rt△AMN中，得tan∠MAN=

MN

AN

=2．
所以，直線(xiàn)AM與平面ABCD所成的角正切值為2．…（6分）
（Ⅱ）過(guò)A作AE⊥PD于E．
∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD．
∵CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥面PAD．
∵AE?面PAD
∴CD⊥AE
∵PD∩CD=D
∴AE⊥面PCD．
過(guò)A作AF⊥PC于F，連接EF．
則∠AFE為二面角A-PC-D的平面角．…（8分）
∵AE=

2

3

，AF=1．
∴在Rt△AEF中，得sin∠AFE=

AE

AF

=

6

3

．
∴cos∠AFE=

3

3

所以，所求二面角的余弦值為

3

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查線(xiàn)面角，面面角，解題的關(guān)鍵是正確作出線(xiàn)面角，面面角，構(gòu)建三角形進(jìn)行求解．