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平面內的點P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈(-
π
4
，
3π
4
)，O為原點，若
OP
，
OQ
兩個向量的夾角為θ，求：f（x）=cosθ的最大值及相應的x的值．
分析：由已知中點P（1，cosx），Q（cosx，1）的坐標，進而根據(jù)cosθ=
OP
•
OQ
|
OP
||
OQ
|
，我們可以求出余弦值f（x）的解析式，結合 x∈[-
π
4
，
π
4
]，求得t=cosx的范圍，由基本不等式
求得到函數(shù)f（x）的最大值．
解答：解：由已知可得 f（x）=cosθ=
OP
•
OQ
OP
|•|
OQ
|
=
2cosx
1+cos2x
．∵x∈(-
π
4
，
3π
4
)，令t=cosx∈[-
2
2
，1]，
可得 f（x）=
2t
1+t2
=
2
1
t
+t
≤1，當且僅當t=1時，等號成立．
故f（x）=cosθ的最大值為1，此時，t=cosx=1，x=0．
點評：本題主要考查的知識點是平面向量的數(shù)量積的坐標表示，平面向量數(shù)量積的運算，基本不等式的應用，注意角的范圍，這是解題的易錯點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平面直坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，經(jīng)過點（1，e），其中e為橢圓的離心率．且橢圓C與直線y=x+
3
有且只有一個交點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設不經(jīng)過原點的直線l與橢圓C相交與A，B兩點，第一象限內的點P（1，m）在橢圓上，直線OP平分線段AB，求：當△PAB的面積取得最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知對任意的平面向量，把
AB
繞其起點沿逆時針方向旋轉θ角，得到向量
AP
=(xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ)，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉θ角得到點P
①已知平面內的點A（1，2），B(1+
2
，2-2
2
)，把點B繞點A沿逆時針方向旋轉
7π
4
后得到點P，求點P的坐標
②設平面內曲線C上的每一點繞逆時針方向旋轉
π
4
后得到的點的軌跡是曲線x2-y2=1，求原來曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年度廣東省普寧第二中學高二上學期11月月考理科數(shù)學試卷 題型：解答題

（本題滿分12分）已知對任意的平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角，得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉角得到點P
①已知平面內的點A（1，2），B，把點B繞點A沿逆時針方向旋轉后得到點P，求點P的坐標
②設平面內曲線C上的每一點繞逆時針方向旋轉后得到的點的軌跡是曲線，求原來曲線C的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆度廣東省高二上學期11月月考理科數(shù)學試卷 題型：解答題

（本題滿分12分）已知對任意的平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角，得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉角得到點P

①已知平面內的點A（1，2），B，把點B繞點A沿逆時針方向旋轉后得到點P，求點P的坐標

②設平面內曲線C上的每一點繞逆時針方向旋轉后得到的點的軌跡是曲線，求原來曲線C的方程.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省揭陽市普寧二中高二（上）11月月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知對任意的平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉θ角，得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉θ角得到點P
①已知平面內的點A（1，2），B，把點B繞點A沿逆時針方向旋轉后得到點P，求點P的坐標
②設平面內曲線C上的每一點繞逆時針方向旋轉后得到的點的軌跡是曲線x2-y2=1，求原來曲線C的方程．

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