Question

15．已知函數(shù)$f（x）=1+\frac{a}{{{2^x}+1}}$（a∈R）為奇函數(shù)，則$f（x）＞\frac{1}{2}$的解集為（log₂3，+∞）．

Answer 1

分析 根據f（x）為R上的奇函數(shù)便可得到f（0）=0，從而求出a=-2，這樣解不等式$1-\frac{2}{{2}^{x}+1}＞\frac{1}{2}$即可得出$f（x）＞\frac{1}{2}$的解集．

解答 解：f（x）為R上的奇函數(shù)；
∴f（0）=0；
即$1+\frac{a}{1+1}=0$；
∴a=-2；
∴由$f（x）＞\frac{1}{2}$得，$1-\frac{2}{{2}^{x}+1}＞\frac{1}{2}$；
整理得，2^x＞3；
∴x＞log₂3；
∴$f（x）＞\frac{1}{2}$的解集為（log₂3，+∞）．
故答案為：（log₂3，+∞）．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，原點處的函數(shù)值為0，指數(shù)函數(shù)的值域，以及對數(shù)函數(shù)的單調性和對數(shù)式的運算性質．