Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，．
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆；
（2）設(shè)，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）在（2）的條件下，證明當(dāng)n≥6時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=1，a₂=2，知，由此能求出a₄，a₅，a₆．
（2）由，知a_2n+1-a_2n-1=1．所以a_2n-1=n．再由，知a_2n=2ⁿ．所以，，由此能導(dǎo)出S_n．
（3）要證明當(dāng)n≥6時，成立，只需證明當(dāng)n≥6時，成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
解答：解：（1）解：因?yàn)閍₁=1，a₂=2，所以，
a₄=（2-|sinπ|）a₂+|sinπ|=2a₂=4，
同理a₅=3，a₆=8．（4分）
（2）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222924277602041/SYS201311012229242776020015_DA/7.png">，
即a_2n+1-a_2n-1=1．
所以數(shù)列{a_2n-1}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，因此a_2n-1=n．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222924277602041/SYS201311012229242776020015_DA/8.png">，
所以數(shù)列{a_2n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，因此a_2n=2ⁿ．
所以，．（7分），①．②
由①-②，得．
所以．（10分）
（3）證明：要證明當(dāng)n≥6時，成立，只需證明當(dāng)n≥6時，成立．（11分）
證：①當(dāng)n=6時，成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥6）時不等式成立，即．
則當(dāng)n=k+1時，．
由①②所述，當(dāng)n≥6時，，即當(dāng)n≥6時，．（15分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意不等式的性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．