Question

已知函數(shù),其中是實(shí)數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且.

(Ⅰ)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直,且,證明:;

(Ⅲ)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為,   

(Ⅱ)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,點(diǎn)A處的切線斜率為,點(diǎn)B處的切線斜率為,

故當(dāng)點(diǎn)處的切線互相垂直時(shí),有,

當(dāng)x<0時(shí),

因?yàn)?sub>,所以 ,所以,,

因此,

(當(dāng)且僅當(dāng),即且時(shí)等號(hào)成立)

所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直時(shí)有.

(Ⅲ)當(dāng)或時(shí),,故.

當(dāng)時(shí),的圖象在點(diǎn)處的切線方程為

 即 .

當(dāng)時(shí),的圖象在點(diǎn)處的切線方程為

 即 .