Question

18．已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x∈（-∞，0）時，f（x）=$\frac{x}{1-x}$．
（1）求f（1）的值；
（2）求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用f（1）=-f（-1），可得結(jié)論；
（2）任取x∈（0，+∞），則x∈（-∞，0），結(jié)合條件求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（3）設(shè)任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，然后作差，通分，證明f（x₁）＜f（x₂），便可得出f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（1）=-f（-1）=$\frac{1}{2}$．…（3分）
（2）任取x∈（0，+∞），則x∈（-∞，0），所以f（-x）=$\frac{-x}{1+x}$．…（5分）     
因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）．
所以f（x）=-f（-x）=$\frac{x}{1+x}$．…（7分）
（3）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．…（8分）
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂．
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$．…（10分）
因為x₁，x₂∈（0，+∞），所以1+x₁，1+x₂＞0，
因為x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0．
因此$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0．
所以f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．…（12分）

點評 考查函數(shù)解析式及奇函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義判斷并證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．