Question

16．過(guò)拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與C相交于A，B兩點(diǎn)，與C的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)D，若|AB|=|BD|，則直線(xiàn)l的斜率k=（　�。�

• A． $±\frac{1}{3}$
• B． ±3
• C． $±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $±2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為A′，B′，過(guò)B作AA′的垂線(xiàn)BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直線(xiàn)AB的傾斜角，其正切值即為k值，利用在直角三角形ABN中，tan∠BAH=$\frac{丨BH丨}{丨AH丨}$，從而得出直線(xiàn)AB的斜率．

解答 解：如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為A′，B′，
過(guò)B作AA′的垂線(xiàn)BH，
在三角形ABH中，∠BAH等于直線(xiàn)AB的傾斜角，其正切值即為丨k值，
由拋物線(xiàn)的定義可知：
設(shè)|BF|=n，B為AD中點(diǎn)，
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知：丨AF丨=丨AA′丨，丨BF丨=丨BB′丨，丨BB′丨=丨AA′丨，
可得2|BF|=|AA′|，即|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，
|AA′|=2n，|BF|=n，
∴|AH|=n，
在直角三角形ABH中，tan∠BAH=$\frac{丨BH丨}{丨AH丨}$=$\frac{\sqrt{9{n}^{2}-{n}^{2}}}{n}$=2$\sqrt{2}$，
則直線(xiàn)l的斜率k=2$\sqrt{2}$；
同理求得：直線(xiàn)l的斜率k=-2$\sqrt{2}$；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，特別是焦點(diǎn)弦問(wèn)題，解題時(shí)要善于運(yùn)用拋物線(xiàn)的定義解決問(wèn)題，屬于中檔題．