Question

6．設P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上任一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點，短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形．
（I）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）直線l：y=kx+$\frac{2}$與圓：x²+y²=$\frac{^{2}}{5}$相切，且與橢圓交于P、Q兩點，當△OPQ的面積等于$\sqrt{7}$，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)等邊三角形可得a=2b，再利用a，b，c的關系得出a與c的關系，從而得出離心率；
（II）利用直線與圓相切列方程計算k，得出直線L的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組消元，利用根與系數(shù)的關系計算|PQ|，得出三角形OPQ的面積，根據(jù)面積解出a，b即可．

解答 解：（I）∵短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，
∴a=2b，即b=$\frac{a}{2}$，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（II）∵直線L：y=kx+$\frac{2}$與圓：x²+y²=$\frac{^{2}}{5}$相切，
∴$\frac{\frac{2}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}$，解得k=$±\frac{1}{2}$．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
（1）若k=$\frac{1}{2}$，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{a=2b}\end{array}\right.$，消元得：2x²+2bx-3b²=0，
△=4b²+24b²=28b²＞0，
∴x₁+x₂=-b，x₁x₂=-$\frac{3}{2}^{2}$，
∴|PQ|=（1+$\frac{1}{4}$）$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{4}b$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{7}}{4}b×\frac{\sqrt{5}}$=$\sqrt{7}$，解得b²=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴a²=4b²=$\frac{32\sqrt{5}}{5}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{32\sqrt{5}}{5}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}=1$．
（2）若k=-$\frac{1}{2}$，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{a=2b}\end{array}\right.$，消元得：2x²-2bx-3b²=0，
△=4b²+24b²=28b²＞0，
∴x₁+x₂=b，x₁x₂=-$\frac{3}{2}^{2}$，
以下解法同（1），
綜上，橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{32\sqrt{5}}{5}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}=1$．

點評 本題考查了橢圓的性質，直線與圓、橢圓的位置關系，屬于中檔題．