Question

如圖所示，在△ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，
求證：△ABC的外心O與點A、P、Q四點共圓．

Answer 1

分析：先作△ABC的外接圓⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OP、OQ、OB、OA，證出BE=AF，OE=OF，再證Rt△OPF≌Rt△OQE，得到∠P=∠Q即可得到答案．

解答：證明：作△ABC的外接圓⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
連接OP、OQ、OB、OA，
∵O是△ABC的外心，
∴OE=OF，OB=OA，
由勾股定理得：BE²=OB²-OE²，AF²=OA²-OF²，
∴BE=AF，
∵AP=BQ，
∴PF=QE，
∵OE⊥AB，OF⊥AC
∴∠OFP=∠OEQ=90°，
∴Rt△OPF≌Rt△OQE，
∴∠P=∠Q，
∴O、A、P、Q四點共圓．
即：△ABC的外心O與點A、P、Q四點共圓．

點評：本題主要考查了四點共圓，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，確定圓的條件等知識點，作輔助線構(gòu)造全等三角形證
∠P=∠Q是解此題的關(guān)鍵．