Question

已知△ABC是正三角形,PA⊥平面ABC,且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小.

圖2-3-12

Answer 1

思路分析:要求二面角的大小,首先要在圖形中構(gòu)造出二面角的平面角,然后利用其平面角度量二面角的大小.過(guò)棱上一點(diǎn),分別在兩個(gè)面內(nèi)作或證棱的垂線,即可產(chǎn)生二面角的平面角,要充分利用三角函數(shù)定義求得具體值.

解:取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)BM,作MN⊥PC于N,連結(jié)BN(如圖2-3-12).

∵PA⊥平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC.

易證BM⊥AC,AC=平面PAC∩平面ABC.

∴BM⊥平面PAC(面面垂直的性質(zhì)).

∵M(jìn)N⊥PC,∴NB⊥PC.

∴∠MNB是二面角A-PC-B的平面角.

易知MN=a,BM=a.

∴tan∠MNB=.∴∠MNB=arctan,即二面角A-PC-B的大小為arctan.

  綠色通道:度量二面角的大小是通過(guò)其平面角進(jìn)行,所以在圖形中構(gòu)造出二面角的平面角,就能將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,利用直角三角形中,銳角三角函數(shù)定義,有些問(wèn)題也可用斜三角形中的直角三角形加以處理.求α-l-β的二面角時(shí),通常在其中的一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)A,作另一個(gè)半平面的垂線,垂足為B,然后過(guò)A(或B)作l的垂線,垂足為C,連結(jié)BC(或AC),則∠ACB即為所求.