Question

如果關(guān)于實數(shù)x的方程的所有解中，僅有一個正數(shù)解，那么實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．{a|-2≤a≤2}
B．{a|a≤0或a=2}
C．{a|a≥2或a＜-2}
D．{a|a≥0或a=-2}

Answer 1

【答案】分析：原條件有且僅有一個正實數(shù)解，令，t的符號與x的符號一致，則a=-t³+3t有且僅有一個正實數(shù)解，然后通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可求出a的取值范圍．
解答：解：關(guān)于實數(shù)x的方程的所有解中，僅有一個正數(shù)解有且僅有一個正實數(shù)解．
令，t的符號與x的符號一致，則a=-t³+3t有且僅有一個正實數(shù)解，
令f（t）=-t³+3t（t≠0），
f′（t）=-3t²+3，由f′（t）=0得t=1或t=-1．
又t∈（-1，1）時，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（1，+∞）時，
f′（t）＜0．所以[f（t）]_極大值=f（1）=2．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
結(jié)合三次函數(shù)圖象即可．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]∪{2}．
故選B．
點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及三次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了數(shù)形結(jié)合與函數(shù)方程的思想，屬于中檔題．