Question

如圖，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=a,∠BAC=90°,D為棱B₁B的中點(diǎn).

(1)證明A₁D⊥平面ADC;

(2)求異面直線A₁C與C₁D所成角的大��；

(3)求平面A₁CD與平面ABC所成二面角的大小(僅考慮銳角的情況).

Answer 1

解法一：(1)證明：∵△A₁B₁D和△ABD都為等腰直角三角形，?

∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°.?

∴∠A₁DA=90°,即A₁D⊥AD.?

又∵?

?

CA⊥A₁D,?

∴A₁D⊥平面ADC.?

(2)解：連結(jié)AC₁交A₁C于E點(diǎn)，取AD中點(diǎn)F,連結(jié)EF、CF，則EF∥C₁D.?

∴∠CEF是異面直線A₁C與C₁D所成的角(或補(bǔ)角).?

EF=C₁D=a,CE=A₁C=a,CF=.?

在△CEF中，cos∠CEF=,?

∴∠CEF=arccos.?

則異面直線A₁C與C₁D所成角的大小為.??

(3)解：延長(zhǎng)A₁D與AB延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，連結(jié)CG,過(guò)A作AH⊥CG于H點(diǎn)，連結(jié)A₁H.?

∵A₁A⊥平面ABC,

∴A₁H⊥CG(三垂線定理).?

則∠A₁HA是二面角A₁CGA的平面角，即所求二面角的平面角.??

在直角三角形ACG中，?

∵AC=a,AG=2a, ∴CG=a.?

∴AH=.?

在直角三角形A₁AH中，?

tan∠A₁HA=,?

∴∠A₁HA=arctan,

即所求二面角的大小為arctan.??

解法二：向量法(略).