Question

（2012•貴州模擬）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，S_n+1=3S_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)bn=

an

SnSn+1

(n∈N*)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，證明

1

8

≤Tn＜

1

6

．

Answer 1

分析：（I）由S_n+1=3S_n+2可得，當(dāng)n＞1時(shí)，S_n=3S_n-1+2兩 式相減可得，a_n+1=3a_n，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求S_n，代入可求b_n，然后利用裂項(xiàng)求和即可求解T_n，可證明

解答：解：（I）由S_n+1=3S_n+2可得，當(dāng)n＞1時(shí)，S_n=3S_n-1+2
兩 式相減可得，a_n+1=3a_n（3分）
∵a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列
∴an=2×3n-1（6分）
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=

2(3n-1)

3-1

=3n-1…（8分）
故bn=

2×3n-1

(3n-1)(3n+1-1)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+1-1

)
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=bn=

1

3

(

1

2

-

1

3n+1-1

)…（10分）
又n∈N*，

1

3n+1-1

＞0，故Tn=

1

3

(

1

2

-

1

3n+1-1

)＜

1

6

由b_n＞0知當(dāng)n=1時(shí)，T1=

1

8

最小，即Tn≥

1

8

故

1

8

≤Tn＜

1

6

(n∈N*)成立．                                                 …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及裂項(xiàng)求和方法的綜合應(yīng)用．