Question

已知{a_n}是遞增的等差數列，a₁=2，=a₄+8
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n+，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，d＞0，依題意可得（2+d）²=2+3d+8，解得d，而a₁=2，可求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=2n，從而得b_n=2n+2²ⁿ，利用分組求和的方法即可求得數列{b_n}的前n項和S_n．
解答：解：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，d＞0，
∵a₁=2，=a₄+8
∴（2+d）²=2+3d+8，
∴d²+d-6=0，
解得d=2或d=-3（舍），…（3分）
∴d=2…（5分）
代入：a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n，
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=2n …（7分）
（Ⅱ）∵b_n=a_n+=2n+2²ⁿ …（9分）
∴數列{b_n}的前n項和：
S_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+2²）+（4+2⁴）+…+（2n+2²ⁿ）
=（2+4+…+2n）+（2²+2⁴+…+2²ⁿ））…（11分）
=+
=n（n+1）+   …（14分）
點評：本題考查等差數列的通項公式，考查數列求和，著重考查分組求和與公式法求和，屬于中檔題．