Question

有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法？

（1）甲不在中間也不在兩端；

（2）甲、乙兩人必須排在兩端；

（3）男、女生分別排在一起；

（4）男女相間；

（5）甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定.

Answer 1

思路分析:本例集排列組合多種類型于一題，應(yīng)充分利用元素分析法（優(yōu)先考慮特殊元素）、位置分析法（優(yōu)先考慮特殊位置）、直接法、間接法、捆綁法、插空法、等機(jī)會法等常見的解題思路.

解:（1）方法一：元素分析法

先排甲有6種，其余有種.故共有6×=241 920種排法.

方法二：位置分析法

中間和兩端有種排法，包括甲在內(nèi)的其余6人有種排法，故共有·=336×720=241 920種排法.

方法三：等機(jī)會法

9個人的全排列有種，甲排在每一個位置的機(jī)會都是均等的，依題意，甲不在中間及兩端的排法總數(shù)是×=241 920種.

方法四：間接法-3×=6=241 920種.

（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有=10 080種排法.

（3）捆綁法：=5 760種.

（4）插空法：先排4名男生有種方法，再將5名女生插空，有種方法，故共有·=5 760種.

（5）方法一：9人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對應(yīng)一種符合條件的排法，故共有=60 480種排法.

方法二：=60 480種.

    深化升華 解決排列、組合綜合問題要遵循兩個原則：（1）按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步；（2）按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，具體地說，解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：

①以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素;

②以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置;

③先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù).