Question

13．若點P是曲線y=x²-lnx上任意一點，則點P到直線y=x-4的最小距離為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意知，當(dāng)曲線上過點P的切線和直線y=x-4平行時，點P到直線y=x-4的距離最小．求出曲線對應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得切點的坐標(biāo)，此切點到直線y=x-4的距離即為所求．

解答 解：點P是曲線y=x²-lnx上任意一點，
當(dāng)過點P的切線和直線y=x-4平行時，
點P到直線y=x-4的距離最�。�
直線y=x-4的斜率等于1，
y=x²-lnx的導(dǎo)數(shù)y′=2x-$\frac{1}{x}$
令y′=1，解得x=1，或 x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x-4平行的切線經(jīng)過的切點坐標(biāo)（1，1），
點（1，1）到直線y=x-4的距離d=，
故點P到直線y=x-4的最小距離為d=$\frac{|1-1-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，同時考查點到直線的距離公式的應(yīng)用，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及運用兩直線平行的條件是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．