Question

【題目】天津市某中學(xué)為全面貫徹“五育并舉，立德樹人”的教育方針，促進學(xué)生各科平衡發(fā)展，提升學(xué)生綜合素養(yǎng).該校教務(wù)處要求各班針對薄弱學(xué)科生成立特色學(xué)科“興趣學(xué)習(xí)小組”(每位學(xué)生只能參加一個小組)，以便課間學(xué)生進行相互幫扶.已知該校某班語文數(shù)學(xué)英語三個興趣小組學(xué)生人數(shù)分別為10人10人15人.經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，上學(xué)期期中考試中，他們的成績有了明顯進步.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該班的語文，數(shù)學(xué)，英語三個興趣小組中抽取7人，對期中考試這三科成績及格情況進行調(diào)查.

（1）應(yīng)從語文，數(shù)學(xué)，英語三個興趣小組中分別抽取多少人？

（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成績?nèi)�部及格，其�?/span>2人三科成績不全及格.現(xiàn)從這7人中隨機抽取4人做進一步的調(diào)查.

①記表示隨機抽取4人中，語文，數(shù)學(xué)，英語三科成績?nèi)�及格的人�?shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②設(shè)為事件“抽取的4人中，有人成績不全及格”，求事件發(fā)生的概率.

Answer 1

【答案】（1）語文數(shù)學(xué)英語三個興趣小組中分別抽取人人人.（2）①分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望，②概率為.

【解析】

（1）由語文數(shù)學(xué)英語三個興趣小組的人數(shù)之比為，利用分層抽樣方法確定抽取的人數(shù).

（2）①根據(jù)抽取的7人中恰好有5人三科成績?nèi)�部及格，其�?/span>2人三科成績不全及格.得到隨機抽取4人中，語文，數(shù)學(xué)，英語三科成績?nèi)�及格的人�?shù)可能人，再求得相應(yīng)概率，列出分布列，再求期望.②設(shè)事件為“抽取的人中，三科成績?nèi)�及格的�?/span>人，三科成績不全及格的有人”；事件為“抽取的人中，三科成績?nèi)�及格的�?/span>人，三科成績不全及格的有人”.有，且與互斥，根據(jù)①利用互斥事件的概率求解.

（1）因為數(shù)學(xué)英語三個興趣小組學(xué)生人數(shù)分別為10人10人15人，

所以語文數(shù)學(xué)英語三個興趣小組的人數(shù)之比為，

因此，采用分層抽樣方法從中抽取人，

應(yīng)從語文數(shù)學(xué)英語三個興趣小組中分別抽取人人人.

（2）①依題意，得隨機變量的所有可能取值為.

所以，.

因此，所求隨機變量的分布列為

.

②依題意，設(shè)事件為“抽取的人中，三科成績?nèi)�及格的�?/span>人，三科成績不全及格的有人”；事件為“抽取的人中，三科成績?nèi)�及格的�?/span>人，三科成績不全及格的有人”.

則有，且與互斥.

由①知，，

所以

故事件發(fā)生的概率為.